Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому-же множеству. Функцией одного аргумента φ(x)=y, имеющая тип φ: M→M, называется унарной операцией.
Примеры:
· элементарные функции ех, log x, sin x и другие.
· операция над множествами - дополнения ;
· отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановка
· оперпции над множествами: дополнения , обратное отношение R-1, составное отношение R(2)=R ○ R, транзитивное Rº и рефлексивное R* замыкания и др.
функция двух аргументов φ(x,y)=z имеющая тип φ:MxM→M, называется бинарной операцией. примеры бинарных операций:
· арифметические операции:сложение, вычетание, умножение, деление, возведение в степень;
· операции над множествами: пересечение, объединение, разность;
· операции композиции функций, отображение, отношений и др. Если над элементами a,b?M выполяется операция φ, дающая результат z?M, то это записывается часто как a φ b=z
свойства бинарных операций:
1) ассоциативность (a φ b) φ c = a φ (b φ c)
(арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции).
2) коммутативность a φ b = b φ a
(сложение и умножение, пересечение и объединение- коммутативны; вычитание и деление, разность множеств, композиция перестановок и преобразований типа А → А конечного множества- некоммутативны)
3) дистрибутивность слева относительно операции ╨, если для любых a, b, c
a φ (b ╨ c) = (a φ b) ╨ (a φ c)
и дистрибутивна справа относительно операции ╨, если для любых a, b, c
(a ╨ b) φ c = (a φ c) ╨ (b φ c)
(операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычетания слева и справа, но не наоборот; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа).
Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.
Записи
Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов называют их произведе́нием и обозначают или xy. В этом случае нейтральный элемент, то есть элемент удовлетворяющий равенствам
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.
Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов называют су́ммой и обозначают x + y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут
Примеры:
· элементарные функции ех, log x, sin x и другие.
· операция над множествами - дополнения ;
· отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановка
· оперпции над множествами: дополнения , обратное отношение R-1, составное отношение R(2)=R ○ R, транзитивное Rº и рефлексивное R* замыкания и др.
функция двух аргументов φ(x,y)=z имеющая тип φ:MxM→M, называется бинарной операцией. примеры бинарных операций:
· арифметические операции:сложение, вычетание, умножение, деление, возведение в степень;
· операции над множествами: пересечение, объединение, разность;
· операции композиции функций, отображение, отношений и др. Если над элементами a,b?M выполяется операция φ, дающая результат z?M, то это записывается часто как a φ b=z
свойства бинарных операций:
1) ассоциативность (a φ b) φ c = a φ (b φ c)
(арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции).
2) коммутативность a φ b = b φ a
(сложение и умножение, пересечение и объединение- коммутативны; вычитание и деление, разность множеств, композиция перестановок и преобразований типа А → А конечного множества- некоммутативны)
3) дистрибутивность слева относительно операции ╨, если для любых a, b, c
a φ (b ╨ c) = (a φ b) ╨ (a φ c)
и дистрибутивна справа относительно операции ╨, если для любых a, b, c
(a ╨ b) φ c = (a φ c) ╨ (b φ c)
(операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычетания слева и справа, но не наоборот; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа).
Примеры
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.Записи
Мультипликативная запись
Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементовназывается едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.
Аддитивная запись
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементовПолезные ресурсы:
Сайт, посвященный психологике http://psi-logic.narod.ru/bool/bool4.htm
Сайт, где можно найти материалы по математике ru.math.wikia.com
Страничка на википедии с Бинарными операциями Wikipedia